行星齿轮的特征频率

相对于定轴齿轮而言，行星齿轮更复杂，除了围绕自身的轴旋转之外，它们还围绕其他齿轮的轴旋转，因而，行星齿轮既存在“自转”，又存在“公转”。行星齿轮系中，既绕自身的轴线自转又绕另一固定轴线公转的齿轮称为行星轮。支承行星轮作自转并带动行星轮作公转的构件称为行星架或转臂。轴线固定的齿轮则称为中心轮或太阳轮（包括齿圈）。因此，行星齿轮系是由中心轮、行星架和行星轮三种基本构件组成，如图1所示。

图1 单排行星齿轮

行星齿轮系有不同的分类，如按复杂程度，可分为单级行星齿轮系、多级行星齿轮系和组合行星齿轮系。根据自由度的不同，可分为单自由度的单级行星齿轮系和两自由度的差动齿轮系。还有按中心轮的个数来分类的。在这里，我们主要介绍单级行星齿轮，如图1所示的简单单排行星齿轮。

对于单排行星齿轮而言，行星轮与太阳轮啮合，还要与齿圈啮合。行星轮的轴线围绕太阳轮的固定轴旋转，支承行星轮作自转并带动行星轮作公转的行星架围绕太阳轮的轴线旋转，因此，行星齿轮系存在多个构件旋转，不像定轴齿轮只有一对齿轮幅旋转，故，相对于定轴齿轮而言，行星齿轮的特征频率更复杂。

单排行星齿轮可以任意固定齿圈、太阳轮和行星架中的任一个构件。如当固定齿圈时，太阳轮作为输入的主动轮，行星架作为输出的从动轮，此时齿轮箱可作为减速器。当固定太阳轮时，行星架作为输入的主动轮，齿圈作为输出的从动轮时，齿轮箱可作为增速器。固定行星架时，太阳轮作为输入的主动轮，齿圈作为输出的从动轮时也可视作减速器（因为齿圈的齿数通常多于太阳轮的齿数）。另外，这三个构件还可任一联锁其中两个构件，那么，此时则按1：1输入输出，即传动比为1。

在这，我们仅详细考虑第一种情况，即齿圈固定，太阳轮作为输入的主动轮，行星架作为输出的从动轮，因而，行星架的转速是输出轴的转速。假设齿圈、太阳轮和单个行星轮的齿数分别为z1、z2和z3，行星轮的数量为n。行星齿轮各旋转部件的转动频率如下：

l  太阳轮相对于箱体的转频为f₀（输入转频）；

l  行星架相对于箱体的转频为f₁（输出转频）；

l  行星轮相对于行星架的转频为fp。

由于行星齿轮旋转的构件包括太阳轮、行星轮和行星架，因此，计算各个构件的转频时相对复杂，如果行星齿轮的频率计算能按照定轴齿轮来计算，则简单得多，因此，我们要将行星齿轮转化为定轴齿轮来计算各个频率成分。转化之后，可视行星齿轮为定轴齿轮，因而计算各个频率成分则简单了。这个思路一直贯穿全文，这样在理解各个频率成分时也应按定轴齿轮来理解。

在这，将其他构件的转速（或转频）以行星架为参考，则可认为行星架固定不动，因此行星轮将不存在公转，只有自转，从而将行星齿轮转化为定轴齿轮来计算各个特征频率。此时，太阳轮相对于行星架的转频等于f₀-f₁，齿圈相对于行星架的转频等于-f₁。考虑到太阳轮与行星轮啮合，行星轮与齿圈的内齿啮合，此时，行星轮可视作中间轮，根据定轴齿轮的啮合特征，我们知道中间轮不会影响齿轮的啮合频率，则齿轮的啮合频率如下（负号代表旋转方向相反）。

从上式中，我们可以得到行星减速齿轮箱的齿轮传动比：

根据上式可以得出行星架的输出转频为

除了上述两个频率成分之外，在行星齿轮箱辐射的振动或噪声信号的频谱中，可以发现由于调制效应而产生的低频成分或啮合构件的边频带。这些频谱成分是由任一个齿轮的一个齿的局部缺陷引起的，当有缺陷的齿与其他齿轮啮合进入啮合周期时，就会出现这些频率成分，随着啮合的进行，这些频率成分将重复出现：

l  齿圈的任一个齿与行星轮的啮合频率f₂；

l  太阳轮的任一个齿与行星轮的啮合频率f₃；

l  行星轮的任一个齿与太阳轮或齿圈的啮合频率f₄。

齿圈相对于行星架的转频为f₁，由于行星轮的数量为n，则

太阳轮相对于行星架的转频等于f₀-f₁，由于行星轮的数量为n，则

行星轮相对于行星架的转频为fp，则f₄= fp，即

太阳轮的任何一个轮齿与行星轮的啮合频率是指太阳轮与行星轮每秒钟的啮合次数。由于行星齿轮的轮齿会周期性地与太阳轮和齿圈啮合，因而，在频谱图中会出现2倍的f₄成分。上述分析没有单独列出2f₄这个频率成分，是因为它与频率f4的关系非常简单。这些频率f₀~f₄，对于评估由齿轮啮合周期引起的噪声或振动的时间历程是有用的。这些频率的倒数决定了周期信号重复出现的时间间隔长度。除上述的频率成分f₀~f₄之外，还有一组频率远高于频率f₀~f₄，它们与啮合周期的频率有关。这些啮合频率描述如下：

l  单个行星轮与齿圈的啮合频率f₅；

l  所有行星轮与齿圈的啮合频率f₆；

l  由于齿圈的齿距误差导致所有的行星轮驱动行星架的机械功率都不是均匀一致的，这将会导致单个行星轮出现有别于f₅的啮合频率f₇。

由于转化之后是按定轴齿轮来处理，因此，单个行星轮与齿圈的啮合频率也等于行星轮与太阳轮的啮合频率。根据定轴齿轮的啮合频率计算公式可知，单个行星轮与齿圈的啮合频率等于行星轮的转频乘以它的齿数，也等于齿圈的转频乘以齿圈的齿数，即

根据上式，可计算所有行星轮与齿圈的啮合频率f₆，即

频率f₅是假设行星齿轮箱只有一个行星轮，而频率f₆则是具有多个行星轮，所以啮合频率要乘以行星轮数量n，这也是因为单个行星轮啮合周期的相位通常彼此之间是变化的。如果所有行星轮啮合周期都同相位，那么，啮合频率就不会增加，不需要乘以行星轮数量n。而我们知道，在齿轮啮合过程中存在的调制效应会使行星齿轮箱的啮合频率增加。另外，频率成分f₅和f₆并不总是出现在频谱图中。

如果齿圈是完美的齿轮，即不存在齿距误差，那么，所有行星轮驱动行星架的机械功率是均匀一致的，各个行星轮的负载大小完全相同，不存在时大时小或者完全不受负载的情况。但生产出来的齿圈中的内齿或多或少存在局部齿距误差，从而导致单个行星轮驱动行星架的机械功率流的非均匀分布。某个行星齿轮接近局部的循环齿距误差时将传递全部机械功率，而其他的行星轮传递的功率将减少甚至不传递任何功率。当满载的行星轮通过一对带局部循环齿距误差的轮齿时，它将完全不承受任何负载。行星轮的全负荷运转对应于齿圈齿数除以行星轮数量，即z₁/n。啮合周期数目可能是一个整数，因此，它是分式z1/n的整数部分。数学上这个取整数部分可以用[z₁/n]来表示。在行星架旋转完整一圈中，所有行星轮都连续成为负载最重的行星轮。在行星架旋转完整一圈过程中，总共有n*[z₁/n]个啮合周期。因此，啮合频率f₇计算如下

分别使用前5个基本频率f₀~f₄作为计算的基本频率，给出了上述描述的所有频率f₀~f₇的计算公式，如表1所示。表中每一列频率计算表示用f₀~f₄中的一个基本频率来计算其他频率，如第1列是用f0作为基本频率来计算其他7个频率，其他的类似。

表1 单排行星齿轮所有特征频率之间的关系

注：[…]表示分式取整。

以上介绍的行星齿轮是齿圈固定，最后再简单介绍一下另外一种情况下的行星齿轮的啮合频率计算公式。实旨上，啮合频率计算公式仍是转化为定轴齿轮来计算的。故，各个构件的转速是相对于行星架的转速而言的。

对于齿圈固定的单排行星齿轮，啮合频率计算公式如下：

啮合频率=齿圈齿数*(太阳轮转速±行星架转速)/60

对于太阳轮固定的单排行星齿轮，啮合频率计算公式如下：

啮合频率=齿圈齿数*(齿圈转速±行星架转速)/60

其中，二者转速方向同向取负，反向取正。对于联锁的情况，齿轮不啮合。

上述两种情况的啮合频率计算公式可以合并为一个简单算法：只要行星架转动，相应的啮合频率就是行星架转速*固定的那个齿轮的齿数/60。